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２つの円, 円１と円２の位置関係について考える。円１の中心を \( \mathrm{C} \), 半径を \( r \) とし, 円２の中心を \( \mathrm{C'} \), 半径を \( r' \) とする。中心間の距離 \( \mathrm{CC'} \) を \( d \) とすると, ２つの円の位置関係と \( d,\ r,\ r' \) の関係式は, 以下のようになる。

２つの円の位置関係

円１の方程式：

中心 \( \mathrm{C} \) の座標：( , )

円１の半径（２乗から算出）：

円２の方程式：

中心 \( \mathrm{C'} \) の座標：( , )

円２の半径（２乗から算出）：

位置関係：

計算過程：

２つの円の方程式 \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \cdots \cdots ①\\ x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \cdots \cdots ② \end{cases} \] が交わっているときの共有点を求める。 \( ①-② \) をすると, \( x, \ y \) の１次方程式が得られる。この式と ① または ② から \( y \) を消去することで, \( x \) の２次方程式を作ることができる。この２次方程式を解くことで, ２つの円の共有点を求めることができる。

２つの円の共有点

円１の方程式：

円１の方程式：

円２の方程式：

円２の方程式：

共有点：

計算過程：

２つの円の交点を通る円について考える。 ２つの円の方程式 \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \cdots \cdots ①\\ x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \cdots \cdots ② \end{cases} \] があり, これらが交わっているとする。２つの円 ①, ② が共有点 \( (p,\ q) \) をもつとき, 代入したときに等式が成り立つことから \[ (x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1) + k(x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2) = 0 \cdots\cdots ③ \] は, 交点 \( (p,\ q) \) を通る円を表す。
これが別の点 \( (p',\ q') \) も通るとき \[ ({p'}^2+{q'}^2+a_1p'+b_1q'+c_1) + k({p'}^2+{q'}^2+a_2p'+b_2q'+c_2) = 0 \] が成り立つ。ここで, \( {p'}^2+{q'}^2+a_2p'+b_2q'+c_2 \ne 0 \) とすると, \[ k = - \frac{{p'}^2+{q'}^2+a_1p'+b_1q'+c_1}{{p'}^2+{q'}^2+a_2p'+b_2q'+c_2} \] が得られるので, この \( k \) の値を代入すれば, ２点を通る円の方程式が得られる。
しかし, \( {p'}^2+{q'}^2+a_2p'+b_2q'+c_2=0 \) の場合, ③は \[ x^2+y^2+a_1x+b_1y+c=0 \] となる。つまり, \( {p'}^2+{q'}^2+a_2p'+b_2q'+c_2=0 \) となるのは, \( (p',\ q') \) が円 ② 上にあるときであるが, この場合は交点と \( (p',\ q') \) を通る円 ② そのものであるから, 上の式は使えない。
したがって, ③ は 2つ円の交点を通る円のうち、円 ② 以外のすべての円の方程式を表している。

また, \( k=-1 \) のとき, ③は \[ (a_1-a_2)x + (b_1-b_2)y + (c_1-c_2) =0 \] となるので, 円でなく直線となる。
（さらに, \(a_1=a_2\) かつ \(b_1=b_2\) のときは, 図形は存在しない）

２円の交点を通る円の方程式

\( \cdots ① \)

\( \cdots ② \)

\( k= \)

２つの円の交点を通る図形の方程式：

方程式が表す図形：

計算過程：