微分係数
関数 \(=f(x)\) において, \(x\) の値が \(a\) のから \(b\) まで変化するとき, \(y\) の変化量 \(f(b)-f(a)\) の, \(x\) の変化量 \(b-a\) に対する割合 \[ \boldsymbol{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \cdots\cdots ① \] を, \(x\) が \(a\) から \(b\) まで変化するときの関数 \(f(x)\) の 平均変化率 という。
関数 \(f(x)\) の平均変化率 ① において, \(a\) の値を定め, \(b\) を \(a\) に限りなく近づけるとき, ① がある一定の値 \(\alpha\) に限りなく近づく場合, この値 \(\alpha\) を, 関数 \(f(x)\) の \(x=a\) における 微分係数 または変化率といい, \(f'(a)\) で表す。
すなわち
\[
\boldsymbol{f'(a) = \lim_{b\to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}
\]
ここで, \(b-a=h\) とおくと, \(b=a+h\) となり, \(b\longrightarrow a\) と \(h\longrightarrow 0\) は同値であるから
\[
\boldsymbol{f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}
\]
と表すこともできる。
曲線 \(y=f(x)\) の点 A \((a,\ f(a))\) における曲線の接線の傾きは, 関数 \(f(x)\) の \(x=a\) における 微分係数 \(f'(a)\) で表される。
したがって, 曲線 \(y=f(x)\) の点 A \((a,\ f(a))\) における曲線の接線の方程式は
\[
\boldsymbol{y-f(a)=f'(a) (x-a)}
\]
となる。
\( y=sx^3+tx^2+ux+v \) のグラフにおける接線
\(h=\)
\(a=\)（\( -5 \leqq a \leqq 5 \)）
\(s=\)（\( -5 \leqq s \leqq 5 \)）
\(t=\)（\( -5 \leqq t \leqq 5 \)）
\(u=\)（\( -5 \leqq u \leqq 5 \)）
\(v=\) （\( -5 \leqq v \leqq 5 \)）
関数：
：
計算過程：