関数 =f(x) において, x の値が a のから b まで変化するとき, y の変化量 f(b)f(a) の, x の変化量 ba に対する割合 \boldsymbol{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \cdots\cdots ① を, xa から b まで変化するときの関数 f(x)平均変化率 という。

 関数 f(x) の平均変化率 ① において, a の値を定め, ba に限りなく近づけるとき, ① がある一定の値 \alpha に限りなく近づく場合, この値 \alpha を, 関数 f(x)x=a における 微分係数 または変化率といい, f'(a) で表す。
すなわち \boldsymbol{f'(a) = \lim_{b\to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}} ここで, b-a=h とおくと, b=a+h となり, b\longrightarrow ah\longrightarrow 0 は同値であるから \boldsymbol{f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}} と表すこともできる。

 曲線 y=f(x) の点 A (a,\ f(a)) における曲線の接線の傾きは, 関数 f(x)x=a における 微分係数 f'(a) で表される。
したがって, 曲線 y=f(x) の点 A (a,\ f(a)) における曲線の接線の方程式は \boldsymbol{y-f(a)=f'(a) (x-a)} となる。

y=sx^3+tx^2+ux+v のグラフにおける接線

-55-55

h=0

a=-5 -5 \leqq a \leqq 5

s=-5 -5 \leqq s \leqq 5

t=-5 -5 \leqq t \leqq 5

u=-5 -5 \leqq u \leqq 5

v=-5 -5 \leqq v \leqq 5

関数: y = -5x^3 -5x^2-5x-5

微分係数-330

計算過程:
微分係数 \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(-5+h)-f(-5)}{h}
\qquad \qquad \displaystyle = \lim_{h\to 0} \frac{-330h+70h^2-5h^3}{h} = \lim_{h\to 0} (-330+70h-5h^2) = \underline{-330}