微分係数
関数 =f(x) において, x の値が a のから b まで変化するとき, y の変化量 f(b)−f(a) の, x の変化量 b−a に対する割合 \boldsymbol{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \cdots\cdots ① を, x が a から b まで変化するときの関数 f(x) の 平均変化率 という。
関数 f(x) の平均変化率 ① において, a の値を定め, b を a に限りなく近づけるとき, ① がある一定の値 \alpha に限りなく近づく場合, この値 \alpha を, 関数 f(x) の x=a における 微分係数 または変化率といい, f'(a) で表す。
すなわち
\boldsymbol{f'(a) = \lim_{b\to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}
ここで, b-a=h とおくと, b=a+h となり, b\longrightarrow a と h\longrightarrow 0 は同値であるから
\boldsymbol{f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}
と表すこともできる。
曲線 y=f(x) の点 A (a,\ f(a)) における曲線の接線の傾きは, 関数 f(x) の x=a における 微分係数 f'(a) で表される。
したがって, 曲線 y=f(x) の点 A (a,\ f(a)) における曲線の接線の方程式は
\boldsymbol{y-f(a)=f'(a) (x-a)}
となる。
y=sx^3+tx^2+ux+v のグラフにおける接線
h=0
a=-5( -5 \leqq a \leqq 5 )
s=-5( -5 \leqq s \leqq 5 )
t=-5( -5 \leqq t \leqq 5 )
u=-5( -5 \leqq u \leqq 5 )
v=-5 ( -5 \leqq v \leqq 5 )
関数: y = -5x^3 -5x^2-5x-5
微分係数:-330
計算過程:\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(-5+h)-f(-5)}{h}
\qquad \qquad \displaystyle = \lim_{h\to 0} \frac{-330h+70h^2-5h^3}{h} = \lim_{h\to 0} (-330+70h-5h^2) = \underline{-330}