微分積分学の基本定理
右の図のように曲線 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) と \(x\) 軸, \(y\) 軸, 直線 \(x=1\) で囲まれた図形の面積 \( S \)を考える。
\( 0 \leqq x \leqq 1 \) を \( n \) 等分して, 図形内部を細い長方形で埋めていき, これらの長方形の面積を \( S_n \) を求める。
\( n \) をどんどん大きくしていき, \( S_n \) の極限値を求めると, これは \(S\) と等しくなる。すなわち \[ \boldsymbol{ \lim_{n\to\infty} S_n = S } \]
このようにして面積を求めることができるが, 微分積分学の基本定理として以下のことが知られている。
に曲線 \(y=f(x)\) と \(x\) 軸, \(y\) 軸, \(x\) 座標が \(x\) となる直線で囲まれた図形の面積を \( S(x) \) とすると \[ \boldsymbol{ S'(x) = f(x) } \]
\( y=ax^3+bx^2+cx+d \) のグラフの \( 0 \leqq x \leqq 1 \) における面積
\(n=\)
\(a=\)（\( 0 \leqq a \leqq 5 \)）
\(b=\)（\( 0 \leqq b \leqq 5 \)）
\(c=\)（\( 0 \leqq c \leqq 5 \)）
\(d=\)（\( 0 \leqq d \leqq 5 \)）
\( S_n = \)
\( S = \)
関数：
計算過程：円周率の計算
上記の方法を用いて円周角を求めることができる。円の方程式 \( x^2+y^2=1 \) において, この円の面積が円周率 \( \pi \) と等しくなる。そこで, 右の図のように４分の１の円（四分円）を考えるとこの四分円の方程式は \( 0 \leqq x \leqq 1 \) で, \( y=\sqrt{1-x^2} \) と表せる。
\( 0 \leqq x \leqq 1 \) を \( n \) 等分して, 図形内部を細い長方形で埋めていき, これらの長方形の面積を \( S_n \) を求める。
\( n \) をどんどん大きくしていき, \( S_n \) の極限値を求めると, これは \( \displaystyle \frac14\pi \) と等しくなる。すなわち \[ \boldsymbol{ \lim_{n\to\infty} 4S_n = \pi } \]
このようにして円周率をコンピュータの計算で求めることができる。
円周率の求め方
\(n=\)
\( 4S_n = \)