\( ax+by+c=0 \) の表す図形
\( x,\ y \) の１次方程式 \( ax+by+c=0 \) は
\( b\ne0 \) のとき, 傾きが \( \displaystyle - \frac{a}{b} \) の直線 \( \displaystyle y=-\frac{a}{b} x - \frac{c}{b} \) を表し,
\( b=0 \) のとき, \( x \) に垂直な直線 \( \displaystyle x=-\frac{c}{a} \) を表す。
逆に, 座標平面上のすべての直線は, \( a,\ b,\ c \) を実定数 かつ \( a\ne0\ または\ b\ne0 \) として, 次の形で表される。
\[
\boldsymbol{ ax+by+c=0 }
\]
また, 直線と \( x \) 軸との交点を \( x \) 切片, 直線と \( y \) 軸との交点を \( y \) 切片という。
直線の方程式 \( ax+by+c=0 \) において傾きは \( \displaystyle -\frac{a}{b} \), \( x \) 切片は \( \displaystyle -\frac{c}{a} \), \( y \) 切片は \( \displaystyle -\frac{c}{b} \) である。
\( ax+by+c=0 \) の表す図形
傾き：\( ,\ \) \( y \) 切片：\( ,\ \) \( x \) 切片：
直線の方程式Ⅰ
点 \( \mathrm{A}(x_1,\ y_1) \) を通る直線 \( \ell \) の方程式を考える。
\( \ell \) の傾きが \( m \) のとき, \( \ell \) の方程式を \[ y=mx+n \cdots ① \] とすると, \( \ell \) が点 \( \mathrm{A} \) を通ることから \[ y_1=mx_1+n \cdots ② \] ①, ② から \( n \) を消去して \[ \boldsymbol{y-y_1 = m(x-x_1)} \cdots ③ \] このとき, \( y \) 切片は \( -mx_1 + y_1 \) , \( x \) 切片は \( \displaystyle -\frac{y_1}{m} + x_1 \) である。
\( \ell \) が \( x \) 軸に垂直であるとき, \( \ell \) の方程式は \[ \boldsymbol{x = x_1} \]
傾きが \( m \) で点 \( \mathrm{A}(x_1,\ y_1) \) を通る直線
傾き：
点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )
\( y \) 切片：\( ,\ \) \( x \) 切片：
直線の方程式Ⅱ
異なる２点 \( \mathrm{A} (x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2) \) を通る直線の方程式を考える。
\( x_1 \ne x_2 \) のとき, 直線 \( \mathrm{AB} \) の傾きを \( m \) とすると, \( \displaystyle m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \) であるから, ③ よりこの直線の方程式は \[ \boldsymbol{ y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)} \] このとき, \( y \) 切片は \( -mx_1 + y_1 \), \( x \) 切片は \( \displaystyle -\frac{y_1}{m} + x_1 \) である。
\( x_1=x_2 \) のとき, 直線 \( \mathrm{AB} \) は, \( x \) 軸に垂直であるから, この直線の方程式は \[ \boldsymbol{x = x_1} \]
\( \mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2) \) を通る直線の方程式
点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )
点 \( \mathrm{B} \) の座標：( , )
直線の方程式：\( ,\ \) \( x \) 切片：
計算過程：