GTS

軌跡

同一の条件を満たす点の集合のこと, または同一の条件を満たす点が動いてできる図形のこと

軌跡を求める手順

1. 求めたい軌跡上の点 \( \mathrm{P} \) の座標を \( (x,\ y) \) とおき, 与えられた条件を \(x,\ y\) の関係式で表す。
2. 上記の関係式から軌跡の方程式を導き, その方程式の表す図形を求める。
3. その図形上の任意の点が条件を満たしていることを確認する。

２点 \( \mathrm{A,\ B} \) からの距離の２乗の和が一定の \( k \) である点 \( \mathrm{P} \) の軌跡を求める場合, \[ \mathrm{AP^2+BP^2} = k \] から, \( x,\ y \) の関係式を求めればよい。

２点からの距離の２乗の和が一定である点の軌跡

点 \( \mathrm{P} \) の位置：

座標：( , )

点 \( \mathrm{B} \) の座標：( , )

距離の２乗の和：

方程式：

軌跡：

計算過程：

２点 \( \mathrm{A,\ B} \) からの距離の比が \( m:n \) である点 \( \mathrm{P} \) の軌跡を求める場合, \[ \mathrm{AP:BP} = m:n \] から, \( x,\ y \) の関係式を求めればよい。

この軌跡について, \( m\ne n \) ならば, 線分 \( \mathrm{AB} \) を \( m:n \) に内分する点と外分する点を直径の両端とする円となる。この円を アポロニウスの円 という。
\( m=n \) ならば, 線分 AB の垂直二等分線となる。

２点からの距離の比が一定である点の軌跡

点 \( \mathrm{P} \) の位置：

点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )

点 \( \mathrm{B} \) の座標：( , )

距離の比：

方程式：

軌跡：

計算過程：

点 \( \mathrm{Q} \) が円 \( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \) 上を動き, 点 \( \mathrm{A} \) と点 \( \mathrm{Q} \) を結ぶ線分 \( \mathrm{AQ} \) を \( m:n \) に内分する点 \( \mathrm{P} \) の軌跡を求める場合,
点 \( \mathrm{Q} \) の座標を \( (s,\ t) \) , 点 \( \mathrm{P} \) の座標を \( (x,\ y) \) とする。 点 \( \mathrm{Q} \) は円 \( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \) 上にあるので \[ (s-a)^2+(t-b)^2=r^2 \cdots\cdots ① \] 点 \( \mathrm{P} \) は線分 \( \mathrm{AQ} \) を \( m:n \) に内分する点であるから, \(x,\ y\) をそれぞれ \( s,\ t \) で表すことができる。
その式を変形して \( s,\ t \) を \( x,\ y \) で表し, それを ① に代入して, \( x,\ y \) の関係式を求めればよい。

ある１点と円上の点との距離の比が一定である点の軌跡

円 C： （灰色の円）

円 C 上の点 \( \mathrm{Q} \) の位置：

円 C の中心の座標：( , )

円 C の半径の２乗：

点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )

距離の比：

方程式：

軌跡：

計算過程：

点 \( \mathrm{Q} \) が放物線 \( y=ax^2+bx+c \) 上を動き, 点 \( \mathrm{A} \) と点 \( \mathrm{Q} \) を結ぶ線分 \( \mathrm{AQ} \) を \( m:n \) に内分する点 \( \mathrm{P} \) の軌跡を求める場合,
点 \( \mathrm{Q} \) の座標を \( (s,\ t) \) , 点 \( \mathrm{P} \) の座標を \( (x,\ y) \) とする。 点 \( \mathrm{Q} \) は放物線 \( y=ax^2+bx+c \) 上にあるので \[ t = as^2+bs+c \cdots\cdots ① \] 点 \( \mathrm{P} \) は線分 \( \mathrm{AQ} \) を \( m:n \) に内分する点であるから, \(x,\ y\) をそれぞれ \( s,\ t \) で表すことができる。
その式を変形して \( s,\ t \) を \( x,\ y \) で表し, それを ① に代入して, \( x,\ y \) の関係式を求めればよい。

ある１点と放物線上の点との距離の比が一定である点の軌跡

放物線 C：（灰色の放物線）

放物線 C 上の点 \( \mathrm{Q} \) の位置：

放物線 C：\( y=ax^2+bx+c \) としたときの係数

点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )

距離の比：

方程式：

軌跡：

計算過程：