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軌跡: 同一の条件を満たす点の集合のこと, または同一の条件を満たす点が動いてできる図形のこと

軌跡を求める手順

求めたい軌跡上の点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,\ y)$ とおき, 与えられた条件を $x,\ y$ の関係式で表す。
上記の関係式から軌跡の方程式を導き, その方程式の表す図形を求める。
その図形上の任意の点が条件を満たしていることを確認する。

２点 $\mathrm{A,\ B}$ からの距離の２乗の和が一定の $k$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求める場合, $\mathrm{AP^2+BP^2} = k$ から, $x,\ y$ の関係式を求めればよい。

２点からの距離の２乗の和が一定である点の軌跡

点 $\mathrm{P}$ の位置：0

座標：( -10 , -10 )

点

$\mathrm{A}$ の

$x\ 座標$

点

$\mathrm{A}$ の

$y\ 座標$

点 $\mathrm{B}$ の座標：( -10 , -10 )

点

$\mathrm{B}$ の

$x\ 座標$

点

$\mathrm{B}$ の

$y\ 座標$

距離の２乗の和：1

方程式： $\displaystyle (x + 10)^2 + (y + 10)^2 = \displaystyle \frac{1}{2}$

軌跡：中心 $\displaystyle \left(-10,\ -10\right)$ 半径 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ の円

計算過程：

点

$\mathrm{P}$ の座標を

$(x, \ y)$ とする。

$\mathrm{P}$ の満たす条件は

$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 =1$

$\mathrm{AP}^2 = (x-(-10))^2 + (y-(-10))^2,$

$\mathrm{BP}^2 = (x-(-10))^2 + (y-(-10))^2$ を代入して整理すると

$x^2+y^2+20x+20y+\displaystyle \frac{399}{2} = 0$ したがって, 条件を満たす点

$\mathrm{P}$ は, 円

$\displaystyle (x + 10)^2 + (y + 10)^2 = \displaystyle \frac{1}{2}$ 上にある。
逆に, 円

$\displaystyle (x + 10)^2 + (y + 10)^2 = \displaystyle \frac{1}{2}$ 上の任意の点

$\mathrm{P} (x,\ y)$ は, 上の計算を逆にたどって,

$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 =1$ を満たすことが分かる。
よって, 求める軌跡は, 中心

$\displaystyle \left(-10,\ -10\right)$ 半径

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ の円である。

２点 $\mathrm{A,\ B}$ からの距離の比が $m:n$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求める場合, $\mathrm{AP:BP} = m:n$ から, $x,\ y$ の関係式を求めればよい。

この軌跡について, $m\ne n$ ならば, 線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円となる。この円を アポロニウスの円 という。
$m=n$ ならば, 線分 AB の垂直二等分線となる。

２点からの距離の比が一定である点の軌跡

点 $\mathrm{P}$ の位置：0

点 $\mathrm{A}$ の座標：( -10 , -10 )

点

$\mathrm{A}$ の

$x\ 座標$

点

$\mathrm{A}$ の

$y\ 座標$

点 $\mathrm{B}$ の座標：( -10 , -10 )

点

$\mathrm{B}$ の

$x\ 座標$

点

$\mathrm{B}$ の

$y\ 座標$

距離の比：

$m =$ 1

$n =$ 1

方程式：存在しない

軌跡：軌跡はない

計算過程：

点

$\mathrm{P}$ の座標を

$(x, \ y)$ とする。

$\mathrm{P}$ の満たす条件は

$\mathrm{AP} : \mathrm{BP} =1 : 1$ これより

$\mathrm{AP}^2 = \mathrm{BP}^2$

$\mathrm{AP}^2 = (x-(-10))^2 + (y-(-10))^2,$

$\mathrm{BP}^2 = (x-(-10))^2 + (y-(-10))^2$ を代入して整理すると
点

$\mathrm{A,\ B}$ の座標が等しいので求める式は存在しない。

点 $\mathrm{Q}$ が円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上を動き, 点 $\mathrm{A}$ と点 $\mathrm{Q}$ を結ぶ線分 $\mathrm{AQ}$ を $m:n$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求める場合,
点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(s,\ t)$ , 点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,\ y)$ とする。点 $\mathrm{Q}$ は円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上にあるので $(s-a)^2+(t-b)^2=r^2 \cdots\cdots ①$ 点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AQ}$ を $m:n$ に内分する点であるから, $x,\ y$ をそれぞれ $s,\ t$ で表すことができる。
その式を変形して $s,\ t$ を $x,\ y$ で表し, それを ① に代入して, $x,\ y$ の関係式を求めればよい。

ある１点と円上の点との距離の比が一定である点の軌跡

円 C： $\displaystyle (x -1)^2 + y^2 = 10$ （灰色の円）

円 C 上の点 $\mathrm{Q}$ の位置：0

円 C の中心の座標：( 1 , 0 )

中心の

$x\ 座標$

中心の

$y\ 座標$

円 C の半径の２乗：10

点 $\mathrm{A}$ の座標：( -1 , 0 )

点

$\mathrm{A}$ の

$x\ 座標$

点

$\mathrm{A}$ の

$y\ 座標$

距離の比：

$m =$ 2

$n =$ 1

方程式： $\displaystyle \left(x+\displaystyle \frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \displaystyle \frac{10}{9}$

軌跡：中心 $\displaystyle \left(-\displaystyle \frac{1}{3},\ 0\right)$ 半径 $\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3}$ の円

計算過程：

点

$\mathrm{Q}$ の座標を

$(s,\ t )$ , 点

$\mathrm{P}$ の座標を

$(x, \ y)$ とする。
点

$\mathrm{Q}$ は, 円

$\displaystyle (x -1)^2 + y^2 = 10$ 上にあるから

$\displaystyle (s -1)^2 + t^2 = 10$

$\cdots\cdots$ ①

$\mathrm{P}$ は線分

$\mathrm{AQ}$ を

$2:1$ に内分するから

$x = \frac{-1 + 2s}{3},\ y = \frac{0 + 2t}{3}$ よって,

$s=\frac{3x+1}{2},\ t=\frac{3y}{2}$ これらを ① に代入して整理すると

$x^2+y^2+\displaystyle \frac{2}{3}x-1 = 0$ すなわち

$\displaystyle \left(x+\displaystyle \frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \displaystyle \frac{10}{9}$
したがって, 条件を満たす点

$\mathrm{P}$ は, 円

$\displaystyle \left(x+\displaystyle \frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \displaystyle \frac{10}{9}$ 上にある。
逆に, 円

$\displaystyle \left(x+\displaystyle \frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \displaystyle \frac{10}{9}$ 上の任意の点

$\mathrm{P} (x,\ y)$ は, 上の計算を逆にたどって, 線分

$\mathrm{AQ}$ を

$2:1$ に内分することが分かる。
よって, 求める軌跡は, 中心

$\displaystyle \left(-\displaystyle \frac{1}{3},\ 0\right)$ 半径

$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3}$ の円である。

点 $\mathrm{Q}$ が放物線 $y=ax^2+bx+c$ 上を動き, 点 $\mathrm{A}$ と点 $\mathrm{Q}$ を結ぶ線分 $\mathrm{AQ}$ を $m:n$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求める場合,
点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(s,\ t)$ , 点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,\ y)$ とする。点 $\mathrm{Q}$ は放物線 $y=ax^2+bx+c$ 上にあるので $t = as^2+bs+c \cdots\cdots ①$ 点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AQ}$ を $m:n$ に内分する点であるから, $x,\ y$ をそれぞれ $s,\ t$ で表すことができる。
その式を変形して $s,\ t$ を $x,\ y$ で表し, それを ① に代入して, $x,\ y$ の関係式を求めればよい。

ある１点と放物線上の点との距離の比が一定である点の軌跡

放物線 C： $y=x^2$ （灰色の放物線）

放物線 C 上の点 $\mathrm{Q}$ の位置：0

放物線 C： $y=ax^2+bx+c$ としたときの係数

$a\ の値： a=$ 1

$b\ の値： b=$ 0

$c\ の値： c=$ 0

点 $\mathrm{A}$ の座標：( -1 , 0 )

点

$\mathrm{A}$ の

$x\ 座標$

点

$\mathrm{A}$ の

$y\ 座標$

距離の比：

$m =$ 2

$n =$ 1

方程式： $y=\displaystyle \frac{3}{2}x^2+x+\displaystyle \frac{1}{6}$

軌跡：放物線 $y=\displaystyle \frac{3}{2}x^2+x+\displaystyle \frac{1}{6}$

計算過程：

点

$\mathrm{Q}$ の座標を

$(s,\ t )$ , 点

$\mathrm{P}$ の座標を

$(x, \ y)$ とする。
点

$\mathrm{Q}$ は, 放物線

$y=x^2$ 上にあるから

$t=s^2 \cdots\cdots ①$

$\mathrm{P}$ は線分

$\mathrm{AQ}$ を

$2:1$ に内分するから

$x = \frac{-1 + 2s}{3},\ y = \frac{0 + 2t}{3}$ よって,

$s=\frac{3x+1}{2},\ t=\frac{3y}{2}$ これらを ① に代入して整理すると

$y=\displaystyle \frac{3}{2}x^2+x+\displaystyle \frac{1}{6}$ したがって, 条件を満たす点

$\mathrm{P}$ は, 放物線

$y=\displaystyle \frac{3}{2}x^2+x+\displaystyle \frac{1}{6}$ 上にある。
逆に, 放物線

$y=\displaystyle \frac{3}{2}x^2+x+\displaystyle \frac{1}{6}$ 上の任意の点

$\mathrm{P} (x,\ y)$ は, 上の計算を逆にたどって, 線分

$\mathrm{AQ}$ を

$2:1$ に内分することが分かる。
よって, 求める軌跡は, 放物線

$y=\displaystyle \frac{3}{2}x^2+x+\displaystyle \frac{1}{6}$ である。