GTS

座標平面上の２点 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2)$ 間の距離 $\mathrm{AB}$ は, 点 $\mathrm{C}(x_2,\ y_1)$ とすると $$\mathrm{AC} = |x_2-x_1|,\ \mathrm{BC} = |y_2-y_1|$$ $\triangle\mathrm{ABC}$ は直角三角形であるから, 三平方の定理より $$\mathbf{AB}= \sqrt{\mathrm{AC}^2+\mathrm{BC}^2} = \boldsymbol{ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} }$$ この式は, 直線 $\mathrm{AB}$ が $x$ 軸, または $y$ 軸に平行なときにも成り立つ。
特に, 原点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{A}$ の距離 $\mathrm{OA}$ は $$\mathbf{OA} = \boldsymbol{ \sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2} }$$

$\mathrm{AB}$ 間の距離

点 $\mathrm{A}$ の座標：( -10 , -10 )

点 $\mathrm{B}$ の座標：( -10 , -10 )

$\mathrm{AB}$ 間の距離：0

計算過程：

$m,\ n$ は正の数とする。
座標平面上に 2 点 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2)$ があるとする。
点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ が線分 $\mathrm{AB}$ 上にあって, 点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分しているとき
直線 $\mathrm{AB}$ が $x$ 軸に垂直でないとき, $\mathrm{A,\ B,\ P}$ から $x$ 軸に, それぞれ垂線 $\mathrm{AA' ,\ BB',\ PP'}$ を下ろすと, 点 $\mathrm{P'}$ は線分 $\mathrm{A'B'}$ を $m:n$ に内分する。
よって, 直線上の内分点の公式から $$x = \frac{nx_1+mx_2}{m+n}$$ である。直線 $\mathrm{AB}$ が $x$ 軸に垂直であるときも, $x=x_1=x_2$ となるので, 上の式が成り立つ。
$\mathrm{P}$ の $y$ 座標にについても, 同様にして $$y = \frac{ny_1+my_2}{m+n}$$ が成り立つので、点 $\mathrm{P}$ の座標は $$\mathrm{P} \left( \boldsymbol{\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \frac{ny_1+my_2}{m+n}} \right)$$ 特に, $m=n$ のとき点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ の中点となり, その座標は $\displaystyle \left( \boldsymbol{ \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}} \right)$ である。

$\mathrm{AB}$ の内分点 $\mathrm{P}$

点 $\mathrm{A}$ の座標：( -10 , -10 )

点 $\mathrm{B}$ の座標：( -10 , -10 )

点 $\mathrm{P}$ の座標：\( \displaystyle \left(-10,\ -10\right) \)

計算過程：

$m,\ n$ は正の数とする。
座標平面上に 点 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2)$ があるとする。
点 $\mathrm{Q}(x,\ y)$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にあって, 点 $\mathrm{Q}$ が線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に外分しているとき, 内分点の座標と同様に考えることで $$\mathrm{Q} \left( \boldsymbol{\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\ \frac{-ny_1+my_2}{m-n}} \right)$$ が成り立つ。

$\mathrm{AB}$ の外分点 $\mathrm{Q}$

点 $\mathrm{A}$ の座標：( -10 , -10 )

点 $\mathrm{B}$ の座標：( -10 , -10 )

点 $\mathrm{Q}$ の座標：存在しない

計算過程：

座標平面上に 3 点 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2),\ \mathrm{C}(x_3,\ y_3)$ があるとする。
$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}(x,\ y)$ の座標を求める。
辺 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$ の座標は $$\left( \frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2} \right)$$ となり, $\mathrm{G}$ は中線 $\mathrm{CM}$ を $2:1$ に内分する点であるから, その $x$ 座標は $$x = \frac{1\cdot x_3 + 2 \cdot \frac{x_1+x_2}{2}}{2+1} = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$ となるので, 同様にして $\displaystyle y= \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$ であるから, 重心 $\mathrm{G}$ の座標は $$\mathrm{G} \left( \boldsymbol{\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}} \right)$$ である。

$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}$

点 $\mathrm{A}$ の座標：( -10 , -10 )

点 $\mathrm{B}$ の座標：( -10 , -10 )

点 $\mathrm{C}$ の座標：( -10 , -10 )

点 $\mathrm{G}$ の座標：\( \displaystyle \left(-10,\ -10\right) \)

計算過程：

点 $\mathrm{A}(a,\ b)$ に関して, ２点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$ が対称であるとき, $\mathrm{A}$ は線分 $\mathrm{PQ}$ の中点であるから, 次の等式が成り立つ。 $$a = \frac{x_1+x_2}{2},\ b = \frac{y_1+y_2}{2} \cdots ①$$ また, 点 $\mathrm{Q}$ が線分 $\mathrm{PA}$ を $2:1$ に外分することより $$x_2 = -x_1+2a,\ y_2 = -y_1 + 2b \cdots ②$$ として求めることができる（①を式変形すると②になる）。

点に関して対称な点

点 $\mathrm{A}$ の座標：( -10 , -1 )

点 $\mathrm{P}$ の座標：( 4 , 3 )

点 $\mathrm{Q}$ の座標：$\displaystyle \left(-2,\ -5\right)$

計算過程：